다호라 강필 망언 시리즈 (2) - " 개념정리가 덜 되어서...

시기적으로 지금은 '드디어' - 수학공부를 문제를 푸는 것이 전부라고 생각하는 사람들에게는 '드디어'라는 표현이 딱일 듯 해서 - '문제의 양'을 늘려야 할 시기입니다.  물론, 아직도 교과서+기출문제의 학습이 부족하다면, 만사 제쳐두고 이것부터 확실히 하고 '문제의 양'을 늘려야 합니다.  아무리 '급하다'고 해서, 정해진 '절차'를 무시할 수는 없습니다.  '문제의 양'을 늘려야 한다는 이야기는 '기출문제가 아닌 문제'들을 대상으로 '배운 것을 반복 적용하는 과정'을 해야 할 시기라는 뜻입니다.  물론 이 과정에서 교과서와 기출문제는 '사전'처럼 활용되어야 합니다.

이런 시기에 '일반 문제를 풀면서 적용능력을 길러라'라고 조언하면, 많은 경우 듣는 말이 있습니다. 

"""아직 개념정리가 덜 되었다..."

좀 잔인하게 말하겠습니다.  아직도 '개념정리'가 덜 되어 있다면 둘 중의 하나입니다.  좋게 해석하면 개념을 구성하는 기본적인 정의,성질에 대한 학습이 덜 되었다는 뜻입니다.  지금 시기에 ?  약점이 있는 단원이나 주제에 대해서는 이런 말이 성립할 수 있습니다.  예를 들어, 통계적 추정은 어떤 이유에서인지 기본적인 용어조차 정확하게 이해못하고 있는 경우를 많이 봅니다.  그런데, 교과영역 전체적으로 이렇다면, 금년의 수능은 '포기'해야 하는 상황이라고 할 정도입니다.

따라서, 사실은 '개념'에 대해서 잘못 알고 하는 말일 것입니다.  교과서의 기본적인 정의나 성질은 알겠는데, '문제를 해결하는 방법'은 잘 모르겠다.  이런 뜻으로 하는 말일 것입니다.  사실, 보통 '문제를 해결하는 방법'을 '개념'이라고 치장하는 경우가 매우 많습니다.  예를 들어서 문제에서 사용된 가우스 기호가 쓰인 표현의 해석을 '암기'하는 것 - 또는 양보해서 '이해'하는 것 -을 개념이라고 생각하는 경우 등이 그런 것입니다.  거두절미하고 '망언'입니다.

문제에서 사용된 표현은 둘 중의 하나입니다.  교과서에 그 표현의 해석이 정의되어 있거나 또는 '문제를 풀 때' 교과서에 사용된 표현들의 이해에 근거하여 '해석'해야 하거나.  미리 그 표현이 암기되어 있다면, 그리고 출제당국이 그것을 암기하고 있다는 사실을 인지하면 할 수록, '당연히' 변별력있는 출제의 소재로 사용하지 않습니다.  가령 최근에 평가원 문제에서 가우스 기호의 사용이 많지 않고, 대신에 '정수조건' 또는 '정수부분'이라는 표현을 많이 쓰는 배경도 그러한 이유가 작용하고 있는 것입니다.  가우스 기호가 쓰인 어지간한 표현들이 얼마나 잘 정리되어 있는지, 아마 갖고 있는 참고서를 보면 알 수 있을 것입니다.  당연히 가우스 기호 자체는 교과과정의 기본적인 기호가 아닌데도.

""개념정리가 덜 되어서 문제를 풀 수 없다... 이 말이 망언인 이유는 정확하게 풀어쓰면 다음과 같은 말이기 때문입니다.  " 나는 문제를 푸는 방법을 몰라서 문제를 못 풀겠다.. "  왜 망언이라고 하는지 이해되실 것입니다.  문제를 푸는 방법은 그때 그때 '문제해결능력'을 발휘해서 찾아내야 합니다.  수능이 학력고사화된 측면이 있어서, 미리 문제를 푸는 방법을 알고 있는 문항수가 많긴 하지만 - 당연히 이것은 교과서의 수준에서 그런 것이지, 참고서 또는 이런 방법들이 잘 정리된 '인강의 구분'이 기준이 아닙니다. - 변별력있는 문제는 '시험현장에서' 문제를 푸는 방법을 생각해내야 합니다.

따라서, 이것을 훈련하는 유일한 방법은 '문제의 양'을 늘려서 교과서 + 기출문제에서 배운 것을 '적용하는 훈련'을 계속할 때만 가능한 것입니다.  그런 과정에서 '개념이 풍부한 내용을 갖게' 되는 것입니다. 

사태가 이렇게 된 이유는 흔히 인강이 - 다호라의 인강도 '관례적으로' 이렇게 구성되어 있습니다 - 개념강의/문제풀이 강의... 이런 식으로 되어 있기 때문입니다.  그리고 많은 경우 '개념강의'라는 명목으로 교과서를 뛰어넘은 '문제풀이 방법' 또는 '문제해결전략'을 '유형화'합니다.  교과서의 기본적인 공식이나 전형적인 계산법 등은 유형화해도 좋습니다.  그러나 그 이상은 '유형화'하면 안됩니다.  정확하게는 그 이상을 '유형화'하려면 별도의 연구가 필요합니다.  단언하거니와 교과서 수준을 뛰어넘는 올바른 유형화에 성공한 책도, 강사도 없습니다.  ( 언젠가 시간이 되면 한번 해보려고 작정은 하고 있지만, 아마도 짧은 기간안에는 불가능할 것으로 봅니다. )  제가 파악하고 있는 수준에서는 교과서를 뛰어넘는 모든 유형화는 '이미 출제된 문제'에 짜맞추어진 풀이방법의 상업적 치장일 뿐입니다. 

여러분이 개념서라고 부르는 책, 또는 인기있는 개념강의의 공통점은 아이러니하게도, 교과서에 정리되어 있지 않은 '잘 정리된 유형화'를 특징으로 하고 있습니다.  말하자면, 교과서에서 출발하면 주어진 문제를 해결하기 어려운데, 유명한 개념서 또는 유명한 인강의 '개념'을 알면, 문제를 해결하기 쉽기 때문에 그러한 책과 강의가 속된 말로 잘 팔립니다.  책의 저자와 그러한 강의의 강사의 관점에서 대해서는 제가 논할 성질의 것은 아닙니다.  좀 솔직하게 말하면, 수학에 대한 기본적인 이해가 부족한 경우도 있고, 그렇지 않지만, 배우는 학생들의 잠재능력을 무시해서 그런 경우도 있고, 상업적으로 성공하려면 '무지한 소비자'를 전제해야 한다는 생각도 있고,,,복잡합니다.

수능이 학력고사화된 측면이 있어서, 이런 학습과 방법이 일견 유효한 것처럼 보이는 것이 문제입니다.  예를 들어서 체감난이도가 다같이 낮은 문제에 어느정도 통하기 때문입니다.  합답형 문제의 예를 들면, ㄱ과 ㄴ를 판정하는데 유리한 점이 있어 보이기 때문입니다.  ( 단언하지만, 교과서로부터 출발하고 기출문제만 정확하게 학습해도, 마찬가지의 결과를 얻을 수 있습니다... 즉, 그런 교과서를  뛰어넘은 정리가 필요하지 않습니다... )

그런데, 바로 그 이유로 어려운 문제해결능력이 떨어집니다.  여러분은 그 두가지를 - 즉 난이도 낮은 문제에는 도움이 되니까, 그것은 그것대로 익히고 어려운 문제는 어려운 문제대로 어떻게 해보려고 하지만 - 분리해서 생각합니다.  현실은 그렇지 않습니다.  두가지는 불가분의 관계에 있습니다.  학력고사화된 문제에 유리해보이는 '그 필요없는 유형화'가 소위 말하는 신유형 - 신유형의 수학문제란 수능에서는 출제될 수 없습니다.  이것은 다음 망언 시리즈에서... - 의 문제에 약점을 보이는 이유입니다.  독약이 순간적인 고통을 줄여주지만 결국 사람에게 결정적 해를 끼치는 것과 같은 이치입니다.

결론적으로 말씀드립니다.  교과서와 기출문제가 어느정도 정리된 상태라면, '문제의 양'을 늘려서 적용연습을 해야 합니다.  여러분 대부분이 이런 조건에 있다고 생각합니다.  물론 교과서나 기출문제를 '버리라'는 이야기는 아닙니다.  지속적으로 복습하고, 심화학습해야 합니다.  그러나 그것은 '실전문제'에 적용하는 과정에서 그래야 합니다.  학습은 나선형과정을 거쳐야 하는 것이 일반적입니다.  특히 지금 시기에 진도를 느리게 하는 심화학습에 대한 지나친 집착도 좋지 않습니다.  ( 사실 처음 배우는 과정에서 정확하게 했어야 합니다.  늦었다고 해도 필요한 것은 해야 하겠지만, 게시판 등의 질문을 참조해보면 시험의 기준에서 중요하지 않는 것에 집착하는 경우를 많이 봅니다..)

문제해결전략을 만들고, 문제를 어떻게 풀 것인지를 찾아내는 과정이야말로 '개념'학습의 진수입니다.  이 말을 잘 이해해보길 권합니다.  ( 문제가 교과서를 뛰어넘는 수준에서 어떤 유형인가를 분류하는 과정은 수험생에게는 필요없는 '노동'에 불과합니다...)