다호라 강필 산정무한 - 수학 개념학습의 단계에서 명심해야 할 점[1]

수학을 잘하려면 개념을 정확하게 알아야 한다.
'당근' 참입니다.
이 명제에 이의를 제기하는 사람은 없을 것입니다.

그런데,
수학시험을 잘 보려면 ?
여기에 한가지가 추가되어야 합니다.
즉 개념을 정확하게 아는 것만으로는 부족합니다.
그럼 뭐가 더 필요한가 ?

어떻게 보면,
이것은 우리 입시제도의 '문제점'에서 발생합니다.
사실 다른 시각에서 보면,
'입시제도의 문제점'이라기 보다는,
'경쟁 자체가 갖고 있는 불가피한 요소'의 성격도 갖지만 이런 측면의 내용은 글에서는 일절 다루지 않겠습니다.

간단히 말해서,
'제한된 시간'에,
'어떠한 악조건'에서도,
문제를 '맞힐 수 있어야' 한다는 것입니다.
그것은 당연히 개념을 '정확'하게 '알고 있는 것'만으로는 모자랍니다.

동양의 지혜는 현대에 올수록 빛을 발휘하고 있는 것들이 많습니다.
그중에서도 가히 으뜸이라고 할만한 것중의 하나가 '중용지도'라고 생각합니다.
모든 것은 목적에 맞는, 적절한 균형이 있어야 합니다.
어느 한쪽에 치우치지 않는.

개념학습은 매우 중요합니다.
하지만 그것만으로는 부족합니다.
그 개념이 완벽하게 '체화'되어야 합니다.
이것이 핵심입니다.

우선 알아야 할 것은,
개념이라는 말은 워낙 쓰임새가 광범위하기 때문에,
문맥에서 이해하는 것이 불가피합니다.
예를 들어,
나는 항상 여러분에게 개념'정리' 좀 하지마....
이렇게 강조합니다.

이때 정리하지 말라는 개념은 무엇인가?
간단하게 말해서,
'적어도' 라는 말이 있으면 '여사건의 개념'을 이용하여 문제를 해결한다.
이런 짓거리 하지 말라는 것입니다.
'적어도' 목표가 1등급 이상이라면
( 사실은 2등급이상이라면 이렇게 하면 안 될 것으로 봅니다만... )

그런데 누군가 이 개념'정리'하지마.
이말을 오해해서
'그러므로' 가령 등차수열의 정의가 무엇이고,
등차수열의 기본적인 성질은 무엇이고 등등에 대한 것도 '정리'하지 말라고 받아들이면?
그때는 '망'합니다.

그럼 또 이렇게 확대해석할 수도 있습니다.
그러면, 가령
교과서에 없는 '조화수열' ( 역수가 등차수열을 이루는 수열을 말합니다. )이라는 수학적 개념을 '정리'하면 더 좋은 것 아닌가?
심지어 이런 '증거'도 덧붙입니다.
주변에서 수학 잘하는 애들을 보면 '조화수열'이 무엇인지 알고 있더라.

과정과 결과가 뒤섞이고,
원인과 결과의 순서가 바뀝니다.
합리적인 '인식'이란 찾아볼 수 없고,
보이는 '현상'에 대한 단순한 '인지'만 있을 뿐입니다.

수학적으로는 이렇게 판단하는 것입니다.
'조화수열'이라는 수학적 개념을 알고 있는 학생 전체중에 수학을 잘하는 사람이 과연 얼마나 되는가?

독립사건과 종속사건에 대한 수학문제는 잘 해결하지만,
사물과 상황을 보고 인식함에 있어서 조건부 확률에 대한 기본이해는 없으며
명제와 명제의 역을 구분하지 못합니다.
심지어 수학점수가 꽤 나오는 학생중에도 그런 학생이 꽤 되는 것을 감안해보면,
여러분은 듣기 싫은 소리일 수도 있겠지만,
지금의 수능은 정말로 '평이한 시험'임은 분명합니다.

가령 수험생 100명중에 90명은 아마도 케일리-해밀턴 정리를 '알고' 있을 것입니다.
그래서 수학을 잘하는 학생도 그것을 '알고' 있습니다.
이것만이 '단순한 사실'입니다.
어떤 행렬문제를 해결함에 있어서
교과서의 기본개념,성질을 이용하여 해결한 학생의 비율은
가령 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 해결한 학생의 비율에 비하면 압도적으로 높습니다.

아주 오래된 비유를 들자면,
거의 모든 육상선수가 이상하게도 수영연습만 열심히 합니다.
그리고 그 중에 '육상기록'이 나아지는 학생이 생깁니다.
그 '육상기록'이 나아진 학생을 보면서,
'기록'이 나아지지 않는 학생은 생각합니다.
"나도 저 친구처럼 죽어라고 수영연습 더 열심히 해야지."
비유가 과하다고 생각하십니까 ?

모호한 '위치'에 있는 개념이나 성질은 있습니다.
정확하게 세가지 정도가 있습니다.

하나는 교과서에 나와 있으나, 뒷단윈의 내용으로 앞단원의 내용을 해석해야 하는 개념
두번째는 교과서에 나와 있지 않으나, 교과서로부터 간단하게 추론할 수 있는 개념
세번째는 기출문제에서 출제되었던 요소

이 세가지에 어떤 것들이 있으며,
각각의 내용이 '시험'이라는 조건에서 문제해결에 어떻게 영향을 주는지에 대해서는 간단하게 말하기는 어렵습니다.
그런데 분명한 것은,
이 세가지를 '앞'으로 출제될 시험의 경향과 구체적인 문제'유형'의 관점에서는 누구도 정확하게 예측할 수 없다는 것입니다.
이것은 저도 불가능합니다.
왜냐하면 우리 시험이 갖는 상대평가적 요소때문입니다.
즉 기준은 그 자체로 '상대적'이기 때문입니다.
'예측' 자체가 갖는 가변적인 성격 + 시험의 상대평가적 요소때문에
이런 수준에서 '정확하게', '확실하게' 대비할 수 있다고 누군가 말하면,
'고의성이 없는' ( 설마 고의적으로 이러는 사람은 없을테니까 ) '사기'같은 것입니다.

그래서 뭘 어떻게 하라고?
아무튼 그래서 뭐가 문제라는거야?

개념을 정확하게 알아야 합니다.
그런데 그 개념의 수준과 범위는 한 마디로 천차만별입니다.
반면에 분명한 한 가지 사실은 있습니다.
'개념만 정확하게 안다고' 시험점수가 잘 나오는 것은 절대 아니다.
그 '개념'을 자기것으로 만들어야 한다.

개념학습의 '단계'에서도 주기적인 평가가 필수인 이유이며,
언제나 학습의 모든 기준은 최대한 시험이라는 환경에 가까운 조건에서의 '평가'에 근거해야 합니다.

교과서+익힙책에 있는 개념으로 주어진 시간안에 해결할 수 있는 '시험'이 있다고 합시다.
잘 알다시피 평가원의 주장은 이렇습니다.
물론 나는 거의 100%에 가깝게 평가원의 주장을 실제로 믿고, 신뢰합니다.
하지만 누군가는 믿지 못할 수도 있을 것입니다.
무슨 소리야? 그것은 말하자면 머리 좋은 애들이나 가능하지. 이렇게 생각할 수도 있을 것입니다.
그런데 그래서, 교과서에 없는 개념을 익히는데 시간 다 보낸다 ???
한 마디로 이건 뭠미.
이런 것입니다.

교과서에 있는 것을 이용하여 맞힐 수 있는 문제를 다 맞히고 '나서'
그 '다음'에 그것을 익혀도 익혀야 마땅합니다.
교과서에 있는 것을 이용하여 해결못하는 문제가 있을때,
그 문제를 해결하기 위하여 무언가를 더 배워야 한다면 더 배우는 것입니다.
과연 그렇게 하고 있나요?
'레알' ?

개념학습에서 명심해야 할 첫번째는 이것입니다.
일단 교과서에 있는 것을 '배워라'
그리고 그것을 이용하여, '당장' 문제를 풀어라
그럼 풀리는 것도 있고, 풀리지 않는 것도 있을 것이다.
그것으로도 O/XO/XXO를 만들지 못한다면,
그 '뒤'에 뭐를 더 배워도 배워라.